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ランダウ=リフシッツ『力学』 Landau & Lifshitz Mechanics §5 problem 3.(a)補足

 x = a \cos \gamma t + l \sin \varphi  \ \ \ y = - a \sin \gamma t + l \cos \varphi
 \dot x = - a \gamma \sin \gamma t + l \dot{\varphi} \cos \varphi  \ \ \ \dot y = - a \gamma \cos \gamma t - l \dot{\varphi} \sin \varphi
 
ラグランジアンは,
 L =\frac{1}{2} m( { \dot x } ^2 + { \dot y } ^2) - (-mgy)
= \frac{1}{2} m(a ^2 {\gamma} ^2 + l ^2 {\dot{\varphi}} ^2) + mal \gamma {\dot{ \varphi}} \sin ( \varphi- \gamma t)+mg(-a \sin \gamma t + l \cos \varphi) (*)

ここで,
 \frac{d}{dt} mal \gamma \cos ( \varphi- \gamma t) = mal \gamma \dot{\varphi} \sin ( \varphi - \gamma t) - mal  {\gamma} ^2 \sin( \varphi - \gamma t)

上式を,(*)に代入して,
= \frac{1}{2} m(a ^2 {\gamma} ^2 + l ^2 {\dot{\varphi}} ^2) +  \frac{d}{dt} mal \gamma \cos ( \varphi- \gamma t) + mal  {\gamma} ^2 \sin( \varphi - \gamma t)+mg(-a \sin \gamma t + l \cos \varphi)
= \frac{1}{2} m l ^2 {\dot{\varphi}} ^2  + mal  {\gamma} ^2 \sin( \varphi - \gamma t) + mgl \cos \varphi +\frac{d}{dt}(\frac{1}{2}ma ^2 {\gamma} ^2 t + mal \gamma \cos (\varphi - \gamma t )+ \frac{mga }{\gamma} \cos \gamma t)

§2より,ラグランジアンは座標と時間の任意関数の時間に関する導関数を付け加えるかどうかに関して任意性があるので,最後の項は省略可能である.

= \frac{1}{2} m l ^2 {\dot{\varphi}} ^2  + mal  {\gamma} ^2 \sin( \varphi - \gamma t) + mgl \cos \varphi  (**)

(*)ではなく,(**)が最終的な答えになっているのは,(*)より(**)の方が  \varphi と\dot{\varphi}が同じ項に存在しないので,Euler-Lagrange方程式などが計算しやすいからだと考えられる.