うえこーのぶろぐ

数学/物理/哲学/講演会のまとめ/感想

ランダウ=リフシッツ『力学』 Landau & Lifshitz Mechanics §10 problem 補足

§10の初めの議論を応用する. 
1. ポテンシャル・エネルギーは同じ(U→U'),異なる質量(m→αm'),同一の軌跡( \bf r → \bf{r'} ) において,時間の変化を t → \beta t'とすると,ラグランジアンL'は, 
 L' = \frac{1}{2}\alpha m' v'^2\frac{1}{{\beta}^2} - U'
L'はLの定数倍なので,運動エネルギーの項とポテンシャル・エネルギーの項の定数倍をそろえるために, \frac{ \alpha}{\beta ^2} = 1が必要.
したがって, \frac{1}{\beta ^2} = \frac{1}{\alpha}
\frac{t'}{t} = \sqrt{ \frac{m'}{m}}

2.ポテンシャル・エネルギーを定数倍(U→αU')変化させた,同一の軌跡( \bf r → \bf{r'} ) において,時間の変化を t → \beta t'とすると,ラグランジアンL'は, 
 L' = \frac{1}{2} mv'^2\frac{1}{{\beta}^2} - \alpha U'
L'はLの定数倍なので,運動エネルギーの項とポテンシャル・エネルギーの項の定数倍をそろえるために, \frac{ 1}{\beta ^2} = \alphaが必要.
したがって,\frac{t'}{t} = \sqrt{ \frac{U}{U'}}